La quadrature du cercle
De l’idéal antique à l’impossibilité démontrée
La quadrature du cercle
De l’idéal antique à l’impossibilité démontrée
Introduction
La quadrature du cercle est sans doute l’un des problèmes les plus célèbres et les plus fascinants de la géométrie grecque classique.
Formulé dès l’Antiquité, il illustre à la fois l’audace intellectuelle des premiers géomètres et les limites des outils de la raison pure.
Son énoncé paraît d’une simplicité désarmante :
Construire un carré ayant la même aire qu’un cercle donné, en n’utilisant que la règle non graduée et le compas.
Autrement dit, il s’agit de traduire la perfection du cercle — symbole de l’infini et de la continuité — dans la forme rigide et mesurable du carré, qui incarne l’ordre, la stabilité et la rationalité.
Principe du problème et résolution
Soit un cercle de rayon $r$. Son aire est : $$A=\\pi r^{2}$$ On cherche à construire un carré dont l’aire est la même, donc dont le côté $c$ vérifie : $$c^{2}=\\pi r^{2}\\Longrightarrow c=\\sqrt{\\pi}r$$ Ainsi, résoudre la quadrature du cercle revient à construire la longueur $\\sqrt{\\pi}r$ à partir d’une longueur $r$ donnée.
Or, la géométrie euclidienne montre que seules les longueurs constructibles sont celles obtenues par un nombre fini d’intersections de droites et de cercles à partir d’un segment de base — ce qui correspond à des nombres dits algébriques.
Mais en 1882, Ferdinand von Lindemann démontre que : $\\pi$ est un nombre transcendant sur $\\mathbb{Q}$ (n’est pas algèbrique sur $\\mathbb{Q}$) .
C’est-à-dire qu’il ne peut pas être solution d’une équation polynomiale à coefficients rationnels.
D’autre part, P.L.Wantzel démontre que tout nombre constructible est algébrique sur $ \\mathbb{Q} $ et son degré est une puissance de $ 2 $.
Donc, $\\sqrt{\\pi}$ n’est pas constructible : la quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas.
Conclusion
La quadrature du cercle est devenue un symbole de la limite de la raison géométrique.
Elle illustre la frontière entre ce qui est déductible (par la logique d’Euclide) et ce qui appartient au domaine du transcendant (au-delà des constructions possibles).
