Angles constructibles
application à la trisection d'un angle et aux polygones réguliers
Angles constructible
application à la trisection d’un angle et aux polygones réguliers
1. Angle constructible
Définition
On dit que $ \theta\in [0;\pi] $ est constructible si le point $ M $ de demi-cercle $ \Gamma $ tel que $ \widehat{IOM}=\theta $ est constructible. Ce qui est aussi équivalent à $ \cos \theta $ est constructible.
Par exemple, les angles $ \dfrac{\pi}{2} $, $ \dfrac{\pi}{3} $ et $ \dfrac{\pi}{6} $ sont constructibles. Cependant l’angle $ \theta $ tel que $ \cos \theta=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} $ n’est pas constructible.
Définition
Soit $ \widehat{IOM}=\theta $ un angle tel que le point $ M $ appartient au demi-cercle $ \Gamma $. On a: $ \theta $ est trisectable si le point $ N $ de demi-cercle $ \Gamma $ tel que $ \widehat{ION}=\dfrac{\theta}{3} $ est constructible à partir des points de base $ \mathcal{B}=\left\lbrace O,I,M \right\rbrace $. Autrement dit, l’angle $ \dfrac{\theta}{3} $ est constructible, ce qui équivaut aussi à $ \cos \dfrac{\theta}{3}\in\mathcal{C}_{\mathcal{B}} $ .
\[ \theta \,\,\text{trisectable}\,\, \Longleftrightarrow \frac{\theta}{3} \,\,\text{constructible}\,\, \Longleftrightarrow \cos\left( \frac{\theta}{3}\right) \,\,\text{constructible}\,\, \]
Par exemple, $ \pi $ et $ \dfrac{\pi}{2} $ sont trisectables. Car $ \cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} $ et $ \cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ sont des nombres constructibles.
Remarques
- $ \theta $ est constructible $ \Longleftrightarrow $ $ 2\theta $ est constructible.
- $ \Longrightarrow $: On reporte au compas la corde sous-tendue par l’angle.
- $ \Longleftarrow $: On trace la bissectrice.
Proposition
$ \theta $ est trisectable $ \Longleftrightarrow $ $ \dfrac{\theta}{2} $ est trisectable.
En effet, on a:
\begin{align*}
\theta \,\,\text{trisectable}\,\,&\Longleftrightarrow \frac{\theta}{3}\,\,\text{est constructible}\\
&\Longleftrightarrow \frac{1}{2}\Bigl( \frac{\theta}{3}\Bigr) \,\,\text{est constructible}\\
&\Longleftrightarrow \frac{1}{3}\Bigl( \frac{\theta}{2}\Bigr) \,\,\text{est constructible}\\
&\Longleftrightarrow \frac{\theta}{2}\,\,\text{est trisectable}
\end{align*}
En général, si $ \theta $ est trisectable alors $ \dfrac{\theta}{2^{n}} $ est trisectable $ \forall\, n\in \mathbb{N} $. Par exemple, $ \dfrac{\pi}{2^{n}} $ est trisectable $ \forall\, n\in \mathbb{N} $.
2. Caractérisation et réponse au troisième problème: Trisection d’un angle
Théorème 7 (caractérisation)
$ \theta $ est trisectable si et seulement si le polynôme $ 4X^{3}-3X-\cos \theta $ est réductible (décomposable) dans $ \mathbb{Q}(\cos \theta)[X] $
Exemple: Montrons que $ \dfrac{\pi}{3} $ n’est pas trisectable. Cela revient à montrer que le polynôme $ 4X^{3}-3X-\dfrac{1}{2} $ est irréductible dans $ \mathbb{Q} $. Si non l’un des facteurs de la décomposition est de degré $ 1 $, donc le polynôme a une racine dans $ \mathbb{Q} $. Si $ \dfrac{p}{q} $ est cette racine avec $ p\wedge q=1 $ alors les valeurs possibles de cette racine sont $ \pm 1$ ou $ \pm\dfrac{1}{2} $. Or aucune d’elles n’est racine de polynôme. CQFD.
Remarque
Il est difficile de montrer qu’un angle est trisectable à partir du théorème 7. Cependant, il serait facile de l’utiliser dans l’autre sens pour montrer qu’un polynôme est réductible.
Exemples: On sait que $ \pi, \dfrac{\pi}{2} $ et $ \dfrac{\pi}{4} $ sont trisectables.
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Pour $ \pi $: $ 4X^{3}-3X+1 $ est réductible sur $ \mathbb{Q} $, et on a: $ 4X^{3}-3X+1=(X+1)(4X^{2}-4X+1) $.
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Pour $ \dfrac{\pi }{2}$: $ 4X^{3}-3X $ est réductible sur $ \mathbb{Q} $, et on a: $ 4X^{3}-3X=X(4X^{2}-3) $.
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Pour $ \dfrac{\pi }{4}$: $4X^{3}-3X-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ est réductible sur $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, mais la décomposition n’est pas évidente. Pour résoudre ce problème, on fait la division euclidienne sur $ X-\cos\dfrac{\pi}{12} $ puis on cherche une racine appartenant à $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ qui est $ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $.On aura alors $ 4X^{3}-3X-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=(X+\dfrac{\sqrt{2}}{2})(4X^{2}-2\sqrt{2}X-1) $