Introduction

La duplication du cube, également appelée problème du dédoublement du cube, est l’un des trois grands problèmes classiques de la géométrie grecque, aux côtés de la quadrature du cercle et de la trisection de l’angle. Il consiste à construire, à l’aide uniquement d’une règle non graduée et d’un compas, un cube dont le volume soit le double de celui d’un cube donné.
Ce problème, simple à énoncer, s’est révélé d’une complexité théorique considérable et a profondément influencé le développement de la géométrie et de l’algèbre.

1. Formulation mathématique du problème

Soit un cube de côté $a$. Son volume est donné par $V=a^{3}$.

La duplication du cube consiste à trouver un cube de côté $x$ tel que son volume soit le double du précédent :  $x^{3}=2a^{3}$. D’où : $x=a\sqrt[3]{2}$.

Ainsi, la question revient à construire géométriquement la racine cubique de 2 ($\sqrt[3]{2}$) à l’aide de la règle et du compas.

2. Origine historique et contexte culturel

L’origine du problème se rattache à une légende grecque selon laquelle les habitants de Délos, frappés par une peste, consultèrent l’oracle d’Apollon. Celui-ci leur aurait ordonné de doubler le volume de l’autel cubique dédié au dieu, afin d’apaiser sa colère. Les Delphiques interprétèrent littéralement la demande et se heurtèrent à une difficulté insurmontable : construire un nouveau cube ayant un volume double du précédent.

Les plus grands mathématiciens de l’Antiquité, tels qu’Hippocrate de Chios, Archytas de Tarente, Ménéchme ou encore Eratosthène, s’y intéressèrent. Ce problème devint un symbole du lien entre la géométrie, la philosophie et la religion.

4. Impossibilité démontrée à l’époque moderne

Ce n’est qu’au XIXe siècle que la preuve formelle de l’impossibilité fut établie.
En 1837, le mathématicien Pierre-Laurent Wantzel démontra qu’il est impossible de construire la longueur $a\sqrt[3]{2}$ avec la règle et le compas, car cette valeur n’est pas constructible au sens algébrique.

En effet, P. L. Wantzel démontra que tout nombre constructible  est algébrique sur $ \mathbb{Q} $ et son degré est une puissance de $ 2 $. Car, $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme irréductible $X^{3}-2$ qui est de degré 3 (n’est pas une puissance de $2$).

Donc, $\sqrt[3]{2}$ n’est pas constructible et par conséquent la duplication d’un cube est impossible.​

Les Déliennes crurent recevoir un ordre de pierre : il fallait bâtir un nouvel autel, deux fois plus grand que le précédent. Les artisans se mirent à l’œuvre, mais à chaque essai, le dieu semblait se moquer d’eux : le nouvel autel était trop grand, ou trop petit — jamais juste.

Ce n’était pas une question de foi, mais de géométrie. Pour qu’un cube ait un volume double, son côté doit être multiplié par la racine cubique de 2.

Or, cette longueur — aussi simple à écrire qu’impossible à tracer avec une règle et un compas — devint le cœur d’un mystère mathématique.

Pourtant, l’ordre d’Apollon n’était pas une plaisanterie. Le dieu de la lumière et de la raison ne voulait pas qu’on double la pierre, mais qu’on double le savoir.
Son oracle était une leçon philosophique : ce que les hommes ne peuvent construire de leurs mains, ils doivent le comprendre par leur esprit.

Ce fut d’ailleurs la lecture qu’en firent Platon et les membres de son Académie, y voyant une exhortation à progresser dans les sciences.