Points constructibles à la règle et au compas

Fondements mathématiques et animations interactives de construction

Points constructibles à la règle et au compas

Sommaire:

Définition du problème et exemples
Points et nombres constructibles
Rappel sur les extensions de corps
Caractérisation des nombres constructibles
Applications aux deux premiers problèmes

1. Définition du problème et exemples

Construction à la règle et au compas est un problème qui vient de l’antiquité grecque. Il s’agit de:

Construire des figures géométriques uniquement avec deux outils: règle non graduée et compas.
Cela revient à utiliser un ensemble de points de base donnés pour tracer des droites, des cercles, et … c’est tout

Exemples:

Tracer une parallèle à une droite passant par un point

Tracer une perpendiculaire passant par un point

Tracer un triangle équilatérale

Tracer la médiatrice d’un segment

Tracer la bissectrice d’un angle

Construire un pentagone régulier (moins facile)

2. Points et nombres constructibles

Définition:

Soit $ P $ un plan euclidien et $ \mathcal{B} $ un sous ensemble fini de $ P $ ayant au moins deux éléments.

Un point $ M $ de $ P $ est dit constructible à la règle et au compas à partir de $ \mathcal{B} $ s’il existe une suite finie de points de $ P $ se terminant par $ M $: $ M_{1}, M_{2}, \dots M_{n} = M $ telle que pour tout $ 1\leq i\leq n $, $ M_{i} $ est un point d’intersection, soit de deux droites, d’une droite et d’un cercle ou soit de deux cercles et obtenus à l’aide de l’ensemble $E_{i}=\mathcal{B}\cup \{M_{1},\dots,M_{i-1}\} $ de la manière suivante:

chaque droite passe par deux points distincts de $ E_{i} $
chaque cercle est centré en un point de $ E_{i} $ et a pour rayon la distance entre deux points de $ E_{i} $.

Exemple:

Soit $\left[ AB\right]$ un segment. Soit $C$ un point appartenant au segment tel que $AC>\dfrac{AB}{2}$.
Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ les deux points d’intersection des deux cercles $C(A, AC)$ et $C(B, AC)$. Soit $I$ le point d’intersection des deux droites $\left( M_{1}M_{2}\right)$ et $\left( AB\right)$. Ainsi, à partir de l’ensemble $\mathcal{B}=\left\lbrace A, B, C\right\rbrace $, il existe une suite finie de points: $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}=I$ telle que pour tout $ 1\leq i\leq 3 $, $ M_{i} $ est un point d’intersection, soit de deux droites ou soit de deux cercles et obtenus à l’aide de l’ensemble $E_{3}=\mathcal{B}\cup \{M_{1}, M_{2}\} $. Donc d’après la définition le point $I$
qui est le centre du segment $\left[ AB\right]$ est constructible à la règle et au compas.

Remarques:

Une droite passant par deux points constructibles est dite constructible.
Un cercle centré en un point constructible et ayant pour rayon la
distance entre deux points constructibles est dit constructible.
Les points de $ \mathcal{B} $ sont appelés points de base.
Dans la suite: Le mot constructible signifiera constructible à la règle et au compas.
Il suffit de prendre $ \mathcal{B}=\{O,I\} $.
Soit $ \mathcal{B}=\{O,I\} $. On peut construire un point J pour que $ (O,I,J) $ soit un repère orthonormé (voir l’animation suivante).

Définition (Réel constructible)

Un réel $ a $ est dit constructible si c’est l’une des coordonnées dans le repère $ (O,I,J) $ d’un point constructible.

Exemples:

0, 1, -1 sont constructibles.
$ \sqrt{3} $ est constructible, car c’est l’ordonné du point K qui est constructible

Résultats

Soit $ t\in \mathbb{R} $. t est constructible si et seulement si le point de l’axe $ (Ox) $ d’abscisse $ t $ est constructible (Même résultat si on remplace $ (Ox) $ par $ (Oy) $ et abscisse par ordonné ).
Si $ A $ est un point constructible et $ t $ un nombre constructible, alors le cercle de centre $ A $ et de rayon $ |t| $ est constructible.

Théorème 1

L’ensemble $ \mathcal{C} $ des nombres constructibles est un sous-corps de $ \mathbb{R} $ stable par racine carrée.

Preuve

On sait déjà que $ 0 $ et $ 1 $ sont dans $ \mathcal{C} $.
Si $ a\in \mathcal{C} $, alors soit le point $ A $ de l’axe (Ox) d’abscisse $ a $. Le cercle $ C(O,OA) $ coupe l’axe (Ox) en un point $ A’ $ d’abscisse $ -a $, donc $ -a\in \mathcal{C} $ (voir la construction de l’opposé).
Soit $ (a,b)\in \mathcal{C}^{2} $. On a $ a\in \mathcal{C} $, alors soit le point $ A $ de l’axe (Ox) d’abscisse $ a $ (Résultat 1). Soit $ B $ le point de l’axe (Ox) tel que $ \overline{AB}=b $ (Résultat 2). On a $ \overline{OB}=\overline{OA}+\overline{AB}=a+b $. D’où $ a+b\in \mathcal{C}$ (Voir la construction de la somme).
Soit $ (a,b)\in \mathcal{C}^{2} $. Si $ ab=0 $ c’est évident. Si non, soient les points $ A $ et $ B $ respectivement sur $ (Ox) $ et $ (Oy) $, d’abscisse $ a $ pour $ A $ et d’ordonnée $ b $ pour $ B $. La parallèle à la droite $ (IB) $ passant par $ A $ coupe l’axe $ (Oy) $ en $ C $ d’ordonnée $ ab $. En effet d’après le théorème de Thalès: $ \dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{OB}}{\overline{OC}} $. Donc $ \overline{OC}=ab $ (voir la construction du produit).
Soit $ a\in \mathcal{C} $ tel que $ a\neq 0 $. Soit $ A $ sur $ (Ox) $ d’abscisse $ a $. La parallèle à la droite $ (AJ) $ passant par $ I $ coupe l’axe $ (Oy) $ en $ B $ d’ordonnée $ \dfrac{1}{a} $. En effet d’après le théorème de Thalès: $ \dfrac{\overline{OB}}{\overline{OJ}}=\dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA}} $. Donc $ \overline{OB}=\dfrac{1}{a} $ (voir la construction de l’inverse)
Soit $ a\in \mathcal{C} $ tel que $ a> 0 $. M le milieu de segment $ \left[I’A \right] $. L’axe $ (Oy) $ coupe le cercle $ C(M,MA) $ en un point $ B $ d’ordonnée $\sqrt{a} $ (voir la construction de la racine carrée)

Remarques

On sait que $ \mathbb{Q} $ est le plus petit sous corps de $ \mathbb{R} $, donc on a $ \mathbb{Q}\subset \mathcal{C} \subset \mathbb{R} $

La stabilité de $ \mathcal{C} $ par racine carrée nous permet (en utilisant les constructions de la démonstration du théorème) de construire les points de l’axe $ (Ox) $ ayant par exemples pour abscisses: $ \dfrac{2}{3} $, $ \sqrt{5} $, $ \sqrt[4]{3} $, $\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}} $, …..

3. Rappel sur les extensions de corps

Soit $ K $ un corps, on appel extension de $ K $ tout corps $ L $ tel que $ K\subset L $. On note $ L/K $ ou $ K\longrightarrow L $. Par exemples, $ \mathbb{C} $, $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{C} $ sont des extensions de $ \mathbb{Q} $.
Si $ L/K $ est une extension alors $ L $ est un $ K $-espace vectoriel. L’addition dans l’espace $ L $ étant l’addition de corps $ L $ et la multiplication externe étant la restriction de celle de $ L $ à $ K\times L $. Par exemples, $ \mathbb{C} $ est un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel de dimension $ 2 $ dont la base est $ (1,i) $.
Si $ L/K $ est une extension alors la dimension de K-espace vectoriel $ L $ est appelé le degré de l’extension $ L/K $. On la note $ [L:K] $ ou $ [L,K] $. Si $ [L,K] $ est finie, on dit que l’extension $ L/K $ est finie. Par exemples, $ [\mathbb{C},\mathbb{R}]=2 $ et $ [\mathbb{R},\mathbb{Q}]=+\infty $.
Si $ L/M $ et $ M/K $ sont deux extensions, alors $ [L,K]=[L,M].[M,K] $
Si $ L/K $ est une extension et $ a\in L $, On note par $ K(a) $ le plus petit sous-corps de $ L $ contenant $ K $ et $ a $ et on a: $$K(a)=\left\lbrace \frac{P(a)}{Q(a)}/P,Q\in K[X], Q(a)\neq 0 \right\rbrace$$

Exemples:

$\mathbb{R}(i)=\left\lbrace a+ib/a,b\in \mathbb{R}\right\rbrace =\mathbb{C}$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\left\lbrace a+b\sqrt{2}/a,b\in \mathbb{Q}\right\rbrace$

Donc $ [\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}]=2 $ et $ (1,\sqrt{2}) $ est une base.

Plus généralement, si $ a_{1}, \dots, a_{n}$ sont dans $ L $. On note par $ K(a_{1}, \dots, a_{n}) $ le plus petit sous-corps de $ L $ contenant $ K $ et $ a_{1}, \dots, a_{n} $, et on a:
\[ K(a_{1}, \dots, a_{n})= \left\lbrace \frac{P(a_{1}, \dots, a_{n})}{Q(a_{1}, \dots, a_{n})}/P,Q\in K[X_{1}, \dots, X_{n}] \right\rbrace\] avec $ Q(a_{1}, \dots, a_{n})\neq 0 $

Exemples:

$ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\left\lbrace a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}/(a,b,c,d)\in \mathbb{Q}^{4}\right\rbrace =\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{3})(\sqrt{2}) $
$ [\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}]=2 $. Car $ (1,\sqrt{2}) $ est une base
$ [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2 $. Car $ (1,\sqrt{3}) $ est une base
$ [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),\mathbb{Q}(\sqrt{2})].[\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}] =2\times2=4$

Définition

Soit $ L/K $ une extension et $ a\in L $. on dit que $a $ est algébrique sur $ K $ si il existe $ P\in K[X] $ non nul, tel que $ P(a)=0 $. Dans le cas contraire, on dit que $a $ est transcendant sur $ K $.

Proposition et définition

Si $a $ est algébrique sur $ K $, il existe un polynôme $ Q \in K[X] $ irréductible et unitaire unique tel que: $ \forall P\in K[X] \,\,$ $ (P(a)=0\Longleftrightarrow Q|P) $.

Le polynôme $ Q $ s’appelle polynôme irréductible (ou minimal) de a et on le note $ Irr(a/K) $.
Le degré de $ Q $ s’appelle le degré de $ a $ sur $ K $ et on le note $ d^{\circ}(a/K) $.
Si $ d^{\circ}(a/K)=n $, alors $ [K(a),K]=n $ et $ (1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}) $ est une base de $ K $-ev $ K(a). $

Exemples

$ \sqrt{2} $ est algébrique sur $\mathbb{Q} $, $ Irr(\sqrt{2}/\mathbb{Q})=X^{2}-2 $, $ d^{\circ}(i/\mathbb{R})=2=[\mathbb{R}(i),\mathbb{R}] $, $ (1,i) $ est une base
$ i $ est algébrique sur $ \mathbb{R} $, $ Irr(i/\mathbb{R})=X^{2}+1 $, $ d^{\circ}(i/\mathbb{R})=2=[\mathbb{R}(i),\mathbb{R}] $, $ (1,i) $ est une base
$ \sqrt[3]{2} $ est algébrique sur $ \mathbb{Q} $, $ Irr(\sqrt[3]{2}/\mathbb{Q})=X^{3}-2 $, $ d^{\circ}(\sqrt[3]{2}/\mathbb{Q})=3=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}),\mathbb{Q}] $, $ (1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}) $ est une base.
$ e $ est transcendant sur $\mathbb{Q} $ (C.Hermite en 1873)
$ \pi $ est transcendant sur $ \mathbb{Q} $ (F.Lindemann en 1882)

Proposition

Soit $ L/K $ une extension. L’ensemble des éléments de $ L $ algébriques sur $ K $ est un sous-corps de $ L $ contenant $ K $ et appelé clôture algébrique de $ K $ dans $ L $.

Le corps des nombres réels algébriques sur $ \mathbb{Q} $ qui sera noté par $\mathcal{A} $ est dénombrable (Richard Dedekind en 1873).

4. Caractérisation des nombres constructibles

Lemme

$ (O,I,J) $ désigne le repère orthonormé du plan euclidien $ P $ construit à partir de $ \mathcal{B}=\{O,I\} $.

Si $ (D) $ est une droite passant par les points distincts $ A(a_{1},a_{2}) $ et $ B(b_{1},b_{2}) $, alors elle a une équation de la forme: $ \alpha x+\beta y+\gamma=0 $ avec $ \alpha $, $ \beta $ et $ \gamma $ sont dans $ \mathbb{Q}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}) $
Soient $ A(a_{1},a_{2}) $, $ B(b_{1},b_{2}) $ et $ C(c_{1},c_{2}) $ trois points du plan $ P $. Le cercle de centre $ A $ et du rayon $ BC $ a une équation de la forme: $ x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+\gamma=0 $ avec $ \alpha $, $ \beta $ et $ \gamma $ sont dans $ \mathbb{Q}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2}) $

Théorème 2

Soit $ t\in \mathbb{R} $. $ t $ est constructible si et seulement si il existe $p\in \mathbb{N}^{\ast} $ et une suite $ L_{1}, L_{2}, \dots, L_{p} $ de sous-corps de $ \mathbb{R} $ tels que:

$ L_{1}=\mathbb{Q} \,\,, \,\, t\in L_{p} $
$ \forall \, 1\leq j\leq p-1:\,\,L_{j}\subset L_{j+1}\,\,\text{et}\,\,[L_{j+1}:L_{j}]=2$

Théorème 3 [Résultat de P.L.Wantzel]

Tout nombre constructible est algébrique sur $ \mathbb{Q} $ et son degré est une puissance de $ 2 $.

Ce résultat est très utile pour montrer qu’un nombre réel n’est pas constructible.

Exemples

On sait que $ \sqrt[3]{2} $ est algébrique sur $ \mathbb{Q} $ et que $ d^{\circ}(\sqrt[3]{2}/\mathbb{Q})=3 $ qui n’est pas une puissance de 2. Donc $ \sqrt[3]{2} $ n’est pas constructible.
$ e $ et $ \pi $ sont transcendants sur $ \mathbb{Q} $, donc ne sont pas constructibles.

Remarques

$ \mathbb{Q}\subset \mathcal{C}\subset \mathcal{A}\subset\mathbb{R} $. Ces inclusions sont strictes (en considérant les nombres $ \sqrt{2} $, $ \sqrt[3]{2} $ , $ \pi $ ).

La réciproque de Wantzel est fausse. Le polynôme $ X^{4}-X-1 $ admet une racine réelle qui est algébrique sur $ \mathbb{Q} $ de degré $ 4 $, mais non constructible (Voir J.C.Carrega.Théorie des corps : La règle et le compas.Hermann,1989,p.39).
$ \mathcal{C} $ est dénombrable puisque $ \mathcal{A} $ l’est.

Généralisation

Si l’ensemble de points de base $ \mathcal{B} $ a plus de deux éléments, on choisit parmi eux deux point $ O $ et $ I $ puis on trace le point $ J $ tel que $ (O,I,J) $ soit un ROND. Soient $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n} $ les coordonnées des autres points de bases. L’ensemble des nombres constructibles à partir de $ \mathcal{B} $ sera noté $ \mathcal{C}_{\mathcal{B}} $. Dans ce cas les théorème 1 devient:

Théorème 4

$ \mathcal{C}_{\mathcal{B}} $ est un sous-corps de $ \mathbb{R} $ contenant $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n} $ et stable par racine carrée.

De même, le théorème 2 (de la caractérisation) et le théorème 3 (Résultat de Wantzel) s’écrivent:

Théorème 5

Soit $ t\in \mathbb{R} $. $t\in\mathcal{C}_{\mathcal{B}} $ si et seulement si il existe $ p\in \mathbb{N}^{\ast} $ et une suite $ L_{1}, L_{2}, \dots, L_{p} $ de sous-corps de $ \mathbb{R} $ tels que:

$ L_{1}=\mathbb{Q}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}) \,\,, \,\, t\in L_{p} $

$ \forall \, 1\leq j\leq p-1:\,\,L_{j}\subset L_{j+1}\,\,\text{et}\,\,[L_{j+1}:L_{j}]=2$

Théorème 6 [Résultat de P.L.Wantzel]

Tout nombre constructible à partir de $ \mathcal{B} $ est algébrique sur $ \mathbb{Q}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}) $ et son degré est une puissance de $ 2 $.

5. Applications aux deux premiers problèmes

1. La quadrature du cercle

Construire à la règle et au compas un carré ayant même aire qu’un cercle donné.

La quadrature du cercle est impossible.

Car si la quadrature est possible, alors $ \sqrt{\pi} $ est constructible, et de même pour $ \pi={\sqrt{\pi}}^{2} $. Donc $ \pi $ est algébrique sur $ \mathbb{Q} $. Absurde.

2. La duplication d’un cube

Construire à la règle et au compas l’arête d’un cube ayant un volume deux fois plus grand que le volume d’un cube donné.

La duplication d’un cube est impossible.

Car si la duplication d’un cube est possible, alors $ \sqrt[3]{2} $ est constructible. Ce qui est absurde.