La trisection d'un angle
Entre rêve antique et impossibilité démontrée
La trisection d’un angle
Entre rêve antique et impossibilité démontrée
La trisection d’un angle est le problème suivant : étant donné un angle quelconque $\theta$, peut-on le diviser exactement en trois angles égaux par règle et compas uniquement. On voudrait donc construire \[ \phi=\dfrac{\theta}{3} \] Le résultat historique (Wantzel, 1837) montre que cela est impossible en général. Il existe des cas particuliers, mais il n’existe pas de procédure universelle à la règle et au compas.
L’argument moderne utilise l’algèbre. On emploie la formule du triple angle : $$
\cos(3\phi)=4\cos^3(\phi)-3\cos(\phi)
$$ On pose $x=\cos(\phi)$. Alors $$
4x^3 – 3x = \cos(\theta)
$$ ce qui donne un polynôme cubique $$
4x^3 – 3x -\cos(\theta)=0$$ Pour beaucoup d’angles $\theta$, ce polynôme est irréductible de degré $3$ sur $\mathbb{Q}$. Or la construction à la règle et au compas ne donne accès qu’à des nombres obtenus par extensions quadratiques successives, donc à des degrés puissance de $2$. Un degré $3$ n’est pas une puissance de $2$, donc $\cos(\phi)$ n’est pas constructible, donc la trisection n’est pas possible en général.
Exemple classique : si $\theta = 60^\circ$, on voudrait $\phi = 20^\circ$. Mais $\cos(20^\circ)$ vérifie $$
8x^3 – 6x – 1 = 0
$$ ce polynôme est irréductible, donc $20^\circ$ n’est pas constructible.