Polygones réguliers constructibles
Caractérisation et animations interactives
Polygones réguliers constructibles
Caractérisation et animations interactives
1. Définitions et caractérisation
À partir de deux points de base $ O $ et $ I $, on construit $ J $ tel que $ (O,I,J) $ soit un ROND qui oriente le plan $ P $. $ \Gamma $ désigne le cercle de centre $ O $ et de rayon $ OI $. Si $ \theta \in \mathbb{R} $, on note $ \widehat{\theta} $ l’angle orienté dont la mesure principale est $ \alpha \in ]-\pi;\pi] $ et ses autre mesures sont $ \theta+2k\pi $ avec $ k\in\mathbb{Z} $.
Définition
Dire que $ \widehat{\theta} $ est constructible équivaut à dire que le point M de $ \Gamma $ tel que $ \widehat{(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})}=\widehat{\theta} $ est un point constructible. Autrement dit, $ \cos \theta $ est un nombre constructible.
Définition
Soit $ n $ un entier tel que $ n\geq 3 $. On dit que le polygone régulier à n c\^{o}tés est constructible \textbf{si et seulement si} $ \widehat{\dfrac{2\pi}{n}} $ est constructible.
Dans ce cas $ I $ et $ M $ sont deux sommets consécutifs du polygone régulier. Les autres sommets s’obtiennent en reportant au compas la corde $ IM $ $, (n-2) $ fois.
Lemme 1
Soient $ m $ et $ n $ deux entiers premiers entre eux. On a $ \widehat{\dfrac{2\pi}{mn}} $ est constructible si et seulement si $ \widehat{\dfrac{2\pi}{n}} $ et $ \widehat{\dfrac{2\pi}{m}} $ sont constructibles.
Lemme 2
Soit $ n $ un entier tel que $ n\geq 3 $ et $ n=p_{1}^{\alpha_{1}}\dots p_{k}^{\alpha_{k}}$ sa décomposition en facteurs premiers. Alors le polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si les angles $ \widehat{\dfrac{2\pi}{p_{1}^{\alpha_{1}}}}, \dots, \widehat{\dfrac{2\pi}{p_{k}^{\alpha_{k}}}}$ sont constructibles. En particulier, les polygones régulier à $ 2^{\alpha} $\, ($ \alpha\geq 2 $) côtés sont constructibles.
Donc le problème est réduit à la détermination des angles constructibles de la forme $ \widehat{\dfrac{2\pi}{p^{\alpha}}} $ avec $ p\geq 3 $ premier et $ \alpha\in \mathbb{N}^{\ast} $.
Théorème 8
Si $ p $ est premier avec $ p \geq 3 $, alors $ \widehat{\dfrac{2\pi}{p^{\alpha}}} $ est constructible si et seulement si $ \alpha=1 $ et p est un nombre de Fermat (càd de la forme $ 1+2^{2^{\beta}} $)
En $ 1801 $, Gauss affirma l’implication directe mais il ne l’a pas démontré. Il faut dire qu’à cette époque, il ne pouvait utiliser le résultat de Wantzel (1837). Cependant, il a montré la réciproque.
Théorème 9 [Théorème de Gauss]
Les polygones réguliers constructibles sont ceux dont le nombre de c\^{o}tés n est de la forme $ 2^{\alpha} $ ($ \alpha\geq 2 $) ou de la forme $ 2^{\alpha} p_{1}p_{1}\dots p_{r}$ avec $ \alpha\in \mathbb{N} $ et les $ p_{i} $ sont des nombres premiers de Fermat distincts.
Exemples: Les polygones réguliers à $ n $ côtés tel que $ n\in {3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20\} $ sont constructibles.
2. Exemples de construction
1. Un triangle équilatéral est constructible car $ \cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2} $ est un nombre constructible.
2. Un carré est constructible car $ \cos\dfrac{2\pi}{4}=0 $ est un nombre constructible (on utilise I et J).
3. Le pentagone régulier (5 côtés) est constructible car 5 est un nombre de Fermat .
- Première construction: Cette construction consiste à construire $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} $
- Deuxième construction: Cette construction utilise les triangles d’or et ceux d’argent
4. Construction d’un dodécagone régulier (12 côtés): constructible car $12=2^{2}\times 3$ et 3 est un nombre de Fermat.
Remarque
Grâce à la construction des bissectrices, on peur doubler le nombre de côtés d’un polygone régulier. Ainsi à partir d’un triangle équilatéral on construit les polygones réguliers à $ 6, 12, 24,\dots $ côtés, à partir d’un carré on construit ceux à $ 8, 16, 32,\dots $ côtés et à partir d’un pentagone régulier ceux à $ 10, 20, 40,\dots $ côtés.
5. Construction d’un pentadécagone régulier (15 côtés): constructible car $15=2^{0}\times 3\times 5$ et 3 et 5 sont deux nombres de Fermat.
